Archive

Archive for July, 2012

A useful identity in convergence of random series

July 23, 2012 Leave a comment

Let X_1, X_2,\ldots, be independent and let S_{m,n} = X_{m+1} + \cdots + X_n. Then for any a>0

P(\max_{m<j\leq n} |S_{m,j}| > 2a)\min_{m<k\leq n} P(|S_{k,n}|\leq a) \leq P(|S_{m,n}|>a).

The identity can be used to prove the following results:

1) P. Levy: Let X_1, X_2,\ldots be independent and let S_n = X_1+\cdots+X_n. If \lim_{n\rightarrow \infty} S_n exists in probability, then it also exists almost surely.

2) Let  X_1, X_2,\ldots  be i.i.d. and S_n = X_1+\cdots+X_n. If \lim_{n\rightarrow \infty} S_n/n \rightarrow 0 in probability, then (\max_{1\leq m\leq n} S_m)/n \rightarrow 0 in probability.

Categories: Probability Theory

An application of Fourier analysis (in Vietnamese),

Author: Prof. Ngo Bao Chau

Thích Học Toán

Một bài toán kinh điển trong luyện thi học sinh giỏi là bài này. Chứng minh rằng nếu $latex {\alpha}&fg=000000$ là số vô tỷ, dãy các số $latex {n\alpha -[n\alpha]}&fg=000000$, phần thập phân của $latex {n\alpha}&fg=000000$ với $latex {n\in \mathbb N}&fg=000000$ biên thiên, trù mật trong đoạn $latex {[0,1]}&fg=000000$. Lời giải dựa trên nguyên lý Dirichlet, còn được gọi là nguyên lý chuồng thỏ hoặc chuồng bồ câu tùy vào khu vực địa lý nơi bạn sinh sống.

Dùng chuỗi Fourier, Hermann Weyl chứng minh định đề mạnh hơn nhiều. Ông chứng minh rằng tập các phần thập phân $latex {n \alpha – [n \alpha]}&fg=000000$ phân bố đều trên đoạn $latex {[0,1]}&fg=000000$. Nếu lấy một đoạn con $latex {[a,b]}&fg=000000$ nằm giữa 0 và 1, xác suất để $latex {n \alpha – [n \alpha]}&fg=000000$ rơi vào trong đoạn này đúng bằng $latex {b-a}&fg=000000$.

Gọi $latex {I_{[a,b]}}&fg=000000$ là hàm đặc trưng của…

View original post 249 more words

Categories: Uncategorized